Какие числа зашифрованы геометрическими фигурами и угадайте, какие числа зашифрованы геометрическими фигурами. площадь треугольника круга в 10 раз больше треугольника круга круг квадрат треугольник меньше круга треугольник квадрат на 45 круг треугольник минус квадрат треугольник 2 раза

В свою очередь, каждый класс фигурных чисел делится на разновидности, каждая из которых связана с определённой геометрической фигурой: треугольником, квадратом, тетраэдром и т. д.

Роль в теории чисел

Числа из треугольника Паскаля обнаруживают связь со многими разновидностями фигурных чисел.

Тетраэдральные числа в треугольнике Паскаля (выделены красным)

На третьей линии в треугольнике Паскаля находятся треугольные числа, а на четвёртой — тетраэдральные числа (см. рисунок). Это объясняется тем, что  -е тетраэдральное число есть сумма первых   треугольных чисел, которые расположены на третьей линии. Аналогично на пятой линии расположены четырёхмерные пентатопные числа и т. д. Все они, как и прочие числа внутри треугольника Паскаля, являются биномиальными коэффициентами.

Гипотеза Лежандра (1808 год, она же третья проблема Эдмунда Ландау): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. До сих пор не доказана.

Получение чисел Фибоначчи из треугольника Паскаля

Архаичные виды фигурных чисел

Термины «плоскостное» и «телесное» число являются, вероятно, пережитком более раннего периода математической мысли, когда число и геометрический образ были ещё теснее связаны, когда произведение числа   предметов на абстрактное число   мыслилось как расположение этих предметов в   рядах по   предметов в каждом, с заполнением площади прямоугольника. То же следует сказать и о произведении трёх чисел, являющемся, согласно евклидовской терминологии, телесным числом.

Центрированные многоугольные числа

Примеры построения центрированных многоугольных чисел:

Разновидности центрированных многоугольных чисел

Центрированные треугольные числа

-е по порядку центрированное треугольное число задаётся формулой:

Следствие (при  ):  .

Первые элементы последовательности центрированных треугольных чисел:

Центрированные квадратные числа

-е по порядку центрированное 4-угольное (квадратное) число задаётся формулой:

Первые элементы последовательности центрированных квадратных чисел:

Центрированные пятиугольные числа

Центрированные пятиугольные числа

-е по порядку центрированное пятиугольное число задаётся формулой:

Несколько первых центрированных пятиугольных чисел:

Чётность центрированных пятиугольных чисел меняется по правилу: чётное-чётное-нечётное-нечётное, и последняя десятичная цифра меняется в цикле: 6-6-1-1.

Центрированные шестиугольные числа

Представление формулы в виде   показывает, что центрированное шестиугольное число на 1 больше, чем шестикратная величина треугольного числа

-е по порядку центрированное шестиугольное число задаётся формулой:

Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:

Центрированные семиугольные числа

-е по порядку центрированное семиугольное число задаётся формулой  . Его можно также вычислить умножением треугольного числа   на 7 с добавлением 1.

Несколько первых центрированных семиугольных чисел:

Чётность центрированных семиугольных чисел меняется в цикле нечётный-чётный-чётный-нечётный.

Существуют также центрированные семиугольные числа, входящие в пары простых чисел-близнецов:

Центрированные восьмиугольные числа

-е по порядку центрированное восьмиугольное число задаётся формулой  .

Несколько первых центрированных восьмиугольных чисел:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089.

Центрированные девятиугольные числа

-е по порядку центрированное девятиугольное число определяется общей формулой  .

Умножая  -ое треугольное число на 9 и добавляя 1, получим  -ое центрированное девятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольными числами — каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е и т. д.) также является центрированным девятиугольным числом, и так можно получить все центрированные девятиугольные числа. Формальная запись:  .

Первые центрированные девятиугольные числа:

Из общей формулы следует, что все центрированные девятиугольные числа, кроме 1, составные.

Центрированные десятиугольные числа

-е по порядку центрированное десятиугольное число задаётся формулой  .

Первые представители центрированных десятиугольных чисел:

Подобно другим k-угольным числам,  -ое центрированное десятиугольное число можно вычислить, умножая  -ое треугольное число на  , в нашем случае 10, затем добавляя 1. Как следствие, центрированные десятиугольные числа могут быть получены просто добавлением 1 к десятичному представлению числа. Таким образом, все центрированные десятиугольные числа нечётны и всегда оканчиваются на 1 в десятичном представлении.

Часть центрированных десятиугольных чисел являются простыми, например:

Многоугольные числа, одновременно классические и центрированные

Некоторые центрированные многоугольные числа совпадают с классическими, например:  ; для краткости будем называть такие многоугольные числа двойными.

Пространственные фигурные числа

Наряду с рассмотренными выше фигурными числами для плоских фигур, можно определить пространственные или даже многомерные их аналоги. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

Другие разновидности пространственных фигурных чисел связаны с классическими многогранниками.

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа:

Пирамидальные числа определяются следующим образом:

-е по порядку k-угольное пирамидальное число   есть сумма первых   плоских фигурных чисел с тем же числом углов  :

Геометрически пирамидальное число   можно представить как пирамиду из   слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до   (нижний) шаров.

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

Треугольные пирамидальные (тетраэдральные) числа

Тетраэдр с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел

Треугольные пирамидальные числа, называемые также тетраэдральными — это фигурные числа, которые представляют тетраэдр, то есть пирамиду, в основании которой лежит треугольник. Согласно приведенному выше общему определению пирамидальных чисел,  е по порядку тетраэдральное число определяется как сумма первых   треугольных чисел:

Общая формула для тетраэдрального числа:  .

Несколько первых тетраэдральных чисел:

Интересно, что пятое число равно сумме всех предыдущих.

Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):

1, 10, 120, 1540, 7140.

Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами (последовательность A003556 в OEIS):

,  ,  .

Квадратные пирамидальные числа

Квадратные пирамидальные числа часто кратко называют просто пирамидальными. Для них пирамида имеет квадратное основание. Начальная последовательность:

Общая формула для квадратного пирамидального числа:  .

По аналогии с квадратными можно ввести «кубические числа»   а также числа, соответствующие другим правильным и неправильным многогранникам — например, платоновым телам:

Предусмотрены также их центрированные варианты.

Кубические числа   представляют собой произведение трёх одинаковых натуральных чисел и имеют общий вид   Начальные значения:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 . . . (последовательность A000578 в OEIS).

Следствие: сумма первых   кубических чисел равна квадрату  -го треугольного числа:

, где  .

Их частным случаем выступают:

Числа из более чем одной разновидности

Для краткости в этом разделе классические многоугольные числа называются просто «многоугольными числами».

Геометрическое построение семиугольных чисел

-е по порядку k-угольное число   есть сумма первых   членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а разность равна

Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда  , а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд

В некоторых источниках последовательность фигурных чисел начинают с нуля (например, в A000217):

В этом случае в общей формуле для   допускается   В данной статье фигурные числа нумеруются начиная с единицы, а расширенный ряд оговаривается особо.

Поскольку   линейно зависит от   справедлива формула:

Другими словами, каждое многоугольное число есть среднее арифметическое для равноотстоящих от него по   многоугольных чисел с тем же номером.

Если   — простое число, то второе  -угольное число, равное  , также простое; это единственная ситуация, когда многоугольное число является простым, к чему можно прийти, записав общую формулу в следующем виде:

Ряды из обратных многоугольных чисел

Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет треугольником, если же двойка, то четырёхугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу.

Я первым открыл очень красивую и совершенно общую теорему о том, что каждое число является либо треугольным, либо суммой двух или трёх треугольных чисел; каждое число или квадратное, или является суммой двух, трёх или четырёх квадратов; или пятиугольное, или является суммой двух, трёх, четырёх или пяти пятиугольных чисел, и т. д. до бесконечности, будь то для шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных чисел. Я не могу дать здесь доказательство, которое зависит от многочисленных и запутанных тайн чисел, ибо я намерен посвятить этой теме целую книгу и получить в этой части арифметики удивительные достижения по сравнению с ранее известными пределами.

Разновидности классических многоугольных чисел

Последовательность треугольных чисел:

Обозначим для краткости  -е треугольное число:   Тогда справедливы рекуррентные формулы:

Формула Баше де Мезириака: общую формулу многоугольного числа можно преобразовать так, что она покажет выражение любого многоугольного числа через треугольные:

Сумма двух последовательных треугольных чисел образует квадратное число

Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число):

Из теоремы Ферма о многоугольных числах следует, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел.

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по формуле:

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

. Примеры:   и т. д.

Сумма квадратного числа с предшествующим ему по номеру треугольным числом даёт пятиугольное число:

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи: произведение суммы двух квадратных чисел на любую другую сумму двух квадратных чисел само представимо в виде суммы двух квадратных чисел.

Поскольку второе слагаемое справа может быть равно нулю, здесь следует рассматривать расширенный ряд квадратных чисел, начинающийся не с 1, а с нуля (см. A000290).

Последовательность пятиугольных чисел имеет вид:

Как уже упоминалось выше, пятиугольное число, начиная со 2-го номера, можно представить как сумму квадратного и треугольного числа:

Если в формуле   указать для   более общую последовательность:

то получатся обобщённые пятиугольные числа:

Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:

Двенадцатиугольные числа вычисляются по формуле  :

В десятичной системе  -ое двенадцатиугольное число заканчивается на ту же цифру, что и само число  . Это следует из очевидного сравнения:   откуда получаем:   .

Определение, является ли заданное число многоугольным

Решение задачи сводится к решению «диофантова уравнения» (см. общую формулу):

Перепишем полученное уравнение в виде:  .

Тогда все соответствующие оставшимся парам числа   равны  .

Ответ:   может быть представлено как  , то есть как 2-е 105-угольное, 3-е 36-угольное, 5-е 12-угольное и 14-е 14-угольное число.

Задача 2: дано натуральное число   требуется определить, является ли оно  -угольным числом  . В отличие от задачи 1, здесь   задано.

Степенной ряд, коэффициенты которого —  -угольные числа, сходится при  :

Аппарат производящих функций позволяет применять в теории чисел и комбинаторике методы математического анализа. Приведённая формула также объясняет появление  -угольных чисел среди коэффициентов ряда Тэйлора для различных рациональных дробей. Примеры:

При  :  ;

; ряд сходится при  .

Классические многоугольные числа из более чем одной разновидности

(последовательность A001110 в OEIS).

Треугольное число может также быть одновременно

Квадратное число может быть одновременно